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Cycle de conférences du CPPM
Problèmes Inverses : définition et approche mathématique
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Europe/Paris
Amphithéâtre (CPPM)
Amphithéâtre
CPPM
Description
Le domaine des problèmes inverses en Mathématiques a connu un très fort développement dans les vingt dernières années à cause (ou grâce) à ses fortes implications pratiques dans des domaines très variés (médecine, biologie, écologie, ethnographie, industrie, recherche pétrolière et minière...) mais aussi grâce au développement récent de nouvelles techniques mathématiques très puissantes.
L'approche numérique (ou statistique) liée à l'etude de ces problemes n'est pas en reste et a su profiter de l'apport non négligeable qu'ont constitué les améliorations spectaculaires des capacités de calcul des ordinateurs.
Mais qu'est-ce qu'un problème inverse ?
Considérez les problèmes suivants :
1. Soit trois sources d'eau "minérale" qui alimentent une rivière. Si connaissant la composition minérale de chaque source on veut déterminer celle de la rivière formée par ces trois sources on résout un problème direct...
Si par contre connaissant l'analyse complète de l'eau de la rivière on souhaite déterminer celle de chaque source ou de l'une d'entre elles, réputée inaccessible (souterraine ou autre...), on résout un probleme inverse.
2. Un autre exemple qui commence à avoir un très fort impact dans les médias est le problème de la dissimulation (cloaking) ou comment cacher de la vue mais aussi des détecteurs (électromagnétiques et autres) un objet ?
3. Un troisième exemple tiré de la vie quotidienne concerne la reconstruction de la capacité calorique d'un liquide. Si on connait ce paramètre, on sait en combien de temps on arrivera à l'amener à ébullition. Inversement si on mesure le temps qu'un liquide inconnu met pour bouillir, peut-on retrouver sa capacité calorique ou bien faut-il d'autres informations, surtout si ce liquide est issu d'un mélange ?
On le voit, le champ d'action des problèmes inverses est immense, les questions sont nombreuses et les réponses souvent délicates surtout si on restreint le nombre d'informations dont on dispose.
Je parlerai très peu de mathématiques (essentiellement sous forme de modèles par exemple une jolie équation aux dérivées partielles de type parabolique : ∂tu - ∆u = ƒ(x,u) plus d'autres équations à rajouter pour avoir un problème bien posé) et je parlerai plus d'applications potentielles et d'illustrations existantes ou à venir liées aux problèmes inverses.
L'approche numérique (ou statistique) liée à l'etude de ces problemes n'est pas en reste et a su profiter de l'apport non négligeable qu'ont constitué les améliorations spectaculaires des capacités de calcul des ordinateurs.
Mais qu'est-ce qu'un problème inverse ?
Considérez les problèmes suivants :
1. Soit trois sources d'eau "minérale" qui alimentent une rivière. Si connaissant la composition minérale de chaque source on veut déterminer celle de la rivière formée par ces trois sources on résout un problème direct...
Si par contre connaissant l'analyse complète de l'eau de la rivière on souhaite déterminer celle de chaque source ou de l'une d'entre elles, réputée inaccessible (souterraine ou autre...), on résout un probleme inverse.
2. Un autre exemple qui commence à avoir un très fort impact dans les médias est le problème de la dissimulation (cloaking) ou comment cacher de la vue mais aussi des détecteurs (électromagnétiques et autres) un objet ?
3. Un troisième exemple tiré de la vie quotidienne concerne la reconstruction de la capacité calorique d'un liquide. Si on connait ce paramètre, on sait en combien de temps on arrivera à l'amener à ébullition. Inversement si on mesure le temps qu'un liquide inconnu met pour bouillir, peut-on retrouver sa capacité calorique ou bien faut-il d'autres informations, surtout si ce liquide est issu d'un mélange ?
On le voit, le champ d'action des problèmes inverses est immense, les questions sont nombreuses et les réponses souvent délicates surtout si on restreint le nombre d'informations dont on dispose.
Je parlerai très peu de mathématiques (essentiellement sous forme de modèles par exemple une jolie équation aux dérivées partielles de type parabolique : ∂tu - ∆u = ƒ(x,u) plus d'autres équations à rajouter pour avoir un problème bien posé) et je parlerai plus d'applications potentielles et d'illustrations existantes ou à venir liées aux problèmes inverses.
