De Gauss à la théorie des nombres modernes

par Guy Henniart

samedi 8 déc. 2012, 10:00 → 12:00 Europe/Paris

Amphitheatre (CPPM)

Le grand théorème de Fermat dit que, pour tout entier n > 2, l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ n'a pas de solutions en entiers a, b, c non nuls. Cela n'a été démontré, par Andrew Wiles, que 350 ans après son énoncé par Pierre de Fermat. À part le cas où n vaut 4, traité par Fermat lui-même, on peut supposer que n est un nombre premier p, cʼest-à-dire quʼil n'a pas dʼautres facteurs que 1 et n. Curieusement, la méthode consiste à associer à une solution éventuelle (fixée) l'équation en deux variables Y² = X (X - a^p) (X + b^p) et à étudier le nombre de solutions N(l), pour un nombre premier l, de la congruence correspondante, autrement dit à compter le nombre de couples d'entiers x et y compris entre 1 et l tels que y² et x (x - a^p) (x + b^p) diffèrent d'un multiple de l. C'est Carl Friedrich Gauss qui a inauguré ce genre de considérations, en étudiant le nombre de solutions de la congruence pour X² = d, où d est un entier fixé : dans ce cas, ce nombre varie avec l de façon simple à contrôler. Dans le cas à deux variables cité plus haut, Wiles a prouvé que N(l) est le l-ième coefficient d'une série définissant une forme modulaire, c'est-à dire une fonction d'une variable complexe ayant d'exceptionnelles propriétés de transformation : ces fonctions ont été fort étudiées depuis le dix-neuvième siècle. De plus, le fait que a et b apparaissent à la puissance p dans l'équation entraîne des propriétés supplémentaires de cette forme modulaire, qui est alors trop belle pour exister ! L'exposé sera une introduction douce à ce genre de mathématiques : il s'adresse à tous ceux qui ont une tendresse pour les nombres entiers.

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