Alessandra Caraceni -- Polynomial mixing time for edge flips via growing random planar maps Room: Centre de conférences Marilyn et James Simons A long-standing problem proposed by David Aldous consists in giving a sharp upper bound for the mixing time of the so-called “triangulation walk”, a Markov chain defined on the set of all possible triangulations of the regular n-gon. A single step of the chain consists in performing a random edge flip, i.e. in choosing an (internal) edge of the triangulation uniformly at random and, with probability 1/2, replacing it with the other diagonal of the quadrilateral formed by the two triangles adjacent to the edge in question (with probability 1/2, the triangulation is left unchanged). While it has been shown that the relaxation time for the triangulation walk is polynomial in n and bounded below by a multiple of n^{3/2}, the conjectured sharpness of the lower bound remains firmly out of reach in spite of the apparent simplicity of the chain. For edge flip chains on different models -- such as planar maps, quadrangulations of the sphere, lattice triangulations and other geometric graphs -- even less is known. We shall discuss results concerning the mixing time of random edge flips on rooted quadrangulations of the sphere, partly obtained in joint work with Alexandre Stauffer. A “growth scheme” for quadrangulations which generates a uniform quadrangulation of the sphere by adding faces one at a time at appropriate random locations can be combined with careful combinatorial constructions to build probabilistic canonical paths in a relatively novel way. This method has immediate implications for a range of interesting edge-manipulating Markov chains on so-called Catalan structures, from “leaf translations” on plane trees to “edge rotations” on general planar maps. Moreover, we are able to apply it to flips on 2p-angulations and simple triangulation of the sphere, via newly developed “growth schemes”.

Emmanuel Guitter -- Énumération des cartes serrées et extension de la "formule des slicings" de Tutte (travail en collaboration avec Jérémie Bouttier et Grégory Miermont) Room: Centre de conférences Marilyn et James Simons Une carte serrée est une carte avec des sommets marqués, telle que tous ses sommets de degré 1 sont marqués. Pour un jeu donné de faces étiquetées de 1 à n de degrés prescrits (et en interprétant les sommets marqués comme des faces de degré 0), le nombre de cartes serrées distinctes que l'on peut construire sur la sphère est, comme l'a montré Norbury, un quasi-polynôme de degré n-3 dans les carrés des degrés des faces. Je montrerai comment obtenir la formule explicite de ce quasi-polynôme de manière purement bijective par une décomposition des cartes serrées planaires en tranches ("slices"). Je montrerai enfin comment en déduire une extension de la "formule des slicings" de Tutte (1962) au cas de cartes planaires ayant un nombre arbitraire de faces de degrés impairs.

Anton Zorich -- Multi-courbes aléatoires et surfaces à petits carreaux aléatoires en grand genre Room: Centre de conférences Marilyn et James Simons (avec V. Delecroix, E. Goujard et P. Zograf) Nous commencerons par le comptage de graphes à rubans, fait par M. Kontsevich et P. Norbury, et par le comptage de multi-géodésiques fermées simples sur les surfaces hyperboliques, effectué par M. Mirzakhani. En utilisant ces résultats, nous allons décrire la structure d’une multi-géodésique typique sur une surface de grand genre. Cette description est basée en partie sur les formules asymptotiques pour les corrélateurs de Witten-Kontsevich et pour les volumes de Masur-Veech de l’espace de modules de différentielles quadratiques en grand genre (les deux notions seront expliquées). Ces dernières formules, conjecturées par Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich, ont été récemment démontrées par Amol Aggarwal.

Wenjie Fang -- Bijective link between Chapoton's new intervals and bipartite planar maps Room: Centre de conférences Marilyn et James Simons In 2006, Chapoton defined a class of Tamari intervals called "new intervals" in his enumeration of Tamari intervals, and he found that these new intervals are equi-enumerated with bipartite planar maps. We present here a direct bijection between these two classes of objects using a new object called "degree tree". Our bijection also gives an intuitive proof of an unpublished equi-distribution result of some statistics on new intervals given by Chapoton and Fusy.