Les hypercartes ont-elles des arbres couvrants ?

• Robert Cori (LaBRI, Université de Bordeaux)

Room: Amphi Les arbres couvrants d'une carte jouent un rôle fondamental en particulier pour déterminer son polynôme de Tutte, source d'information sur les propriétés du graphe sous-jacent (colorations, modèle d'Ising...). Pour les hypercartes j'ai proposé une définition des hyperarbres couvrants il y a plus de 40 ans et quelques résultats ont été obtenus avec J.-G. Penaud et A. Machi. Cette définition n'a pratiquement jamais été considérée jusqu'ici. Nous sommes revenus dessus récemment avec Gabor Hetyei et avons obtenus quelques résultats qui montrent des interactions avec d'autres domaines comme l'énumération des méandres ou ce que certains appellent le ''parcours de Bernardi'' d'une carte. Je me propose de vous présenter ces résultats. Il sera aussi question de quelques anecdotes sur l'histoire de la bijection CVS au titre de détente scientifique et amicale.

Étude des clusters dans des cartes munies d’un modèle d’Ising

• Marie Albenque (CNRS, LIX, École Polytechnique)

Room: Amphi Je présenterai un panorama des résultats récents portant sur l’étude des cartes aléatoires munies d’un modèle d’Ising. Dans ce modèle, les sommets de la carte sont décorés par des spins valant +1 ou -1. On fixe ensuite un paramètre $\nu$, et la probabilité qu'une configuration de spins donnée apparaisse dépend du nombre d’arêtes dont les deux extrémités portent le même spin et du paramètre $\nu$. Les « clusters » correspondent aux composantes connexes de la carte lorsqu’on se restreint aux spins +1. Grâce à l'étude de ces clusters, on peut montrer que les propriétés géométriques de la carte exhibent une transition de phase selon la valeur de $\nu$. Je montrerai par exemple qu’il existe une valeur critique $\nu_c$, telle que la probabilité d’avoir un cluster infini est nulle si et seulement si $\nu\leq \nu_c$ et donnerai (très succinctement!) les ingrédients de la preuve. Travail en commun avec Laurent Ménard.

Combinatorial and probabilistic aspects of the slice decomposition of planar maps

• Grégory Miermont (UMPA, ENS de Lyon)

Room: Amphi In this talk, I will review the interpretation of the Cori-Vauquelin-Schaeffer bijection and its relatives in terms of slices, which have appeared about 11 years ago in work by Bouttier-Guitter and Le Gall, with quite independent motivations. We will see how slices play an important role in the combinatorics of maps, in particular with the disk, cylinder and pair of pants topology, and how they can be used to construct scaling limits of the latter. This talk will be partially based on joint work with Jérémie Bettinelli, Jérémie Bouttier and Emmanuel Guitter.

Arbres pondérés positifs et décompositions algébriques

• Gilles Schaeffer (CNRS, LIX, École Polytecnique)

Room: Amphi Dans cet exposé basé en partie sur des travaux avec Enrica Duchi, je reviendrai d'abord rapidement sur LA bijection entre cartes enracinées et arbres très bien étiquetés, et quelques unes de ses reformulations, pour motiver la question suivante : à quel point peut-on donner un relèvement combinatoire du théorème de Bousquet-Mélou--Jehanne qui assure l'algébricité des solutions de certaines équations polynomiales à une variable catalytique ? Nous verrons que dans le cas simple où l'équation fait intervenir une seule fonction inconnue univariée, il est possible de comprendre le résultat de manière complètement combinatoire : si on sait donner une décomposition récursive d'une classe combinatoire $C$ à l'aide d'un paramètre catalytique, on peut en déduire une décomposition $\mathbb{N}$-algébrique des arbres de décomposition catalytique associés aux objets de la classe pointée $C^\bullet$. Comme exemple d'application nous étudierons la séquence 1, 4, 48, 832, 17408, 408576... qui donne le nombre d'arbres binaires bicolores à $n$ noeuds bleus et $n+1$ noeuds rouges (et $2n+2$ feuilles non colorées) tels que dans chaque sous-arbre strict le nombre de noeuds bleus est au moins égal au nombre de noeuds rouges. (Spoiler : on verra que la technique ne suffit pas (encore) à se passer complètement d'intuition combinatoire, et que je ne sais toujours pas dire comment Bernard et Robert ont eu l'idée de leur bijection !)