avec masque, gel, sans sucre et avec 10 mètres entre chacun
La probabilité qu'un recollement aléatoire de tétraèdres le long de leur faces soit une 3-variété tend vers zéro quand le nombre de tétraèdres augmente. Cependant, les seuls points autour lesquels ce complexe n'a pas la topologie d'une variété sont les sommets. Donc, si on tronque les tétraèdres aux sommets, on obtient une 3-variété à bord aléatoire. Je vais parler de la géométrie et topologie de cette variété. Dans cet exposé, je ne supposerai aucune connaissance de la topologie ou la géométrie 3-dimensionnelle. C'est un travail en commun avec Jean Raimbault.
Les bijections à l'aide d'arbres étiquetés ou arbres bourgeonnants impliquent que la fonction à 2 points R_i(g) des quadrangulations planaires satisfait le système récursif R_i(g)=1+g R_i(g) (R_{i-1}(g)+R_i(g)+R_{i+1}(g)), et en particulier R_1(g) est la série génératrice des quadrangulations planaires (enracinées), ou dualement des cartes tétravalentes planaires. Par ailleurs la méthode des polynômes orthogonaux permet de montrer que la série génératrice des cartes tétravalentes de genre non fixé est la première composante r_1(g) de la séquence r_i(g) de séries formelles satisfaisant le système récursif r_i(g)=i+gr_i(g)(r_{i-1}(g)+r_i(g)+r_{i+1}(g)). Nous en donnerons une interprétation bijective à l'aide d'arbres bourgeonnants, qui explique aussi la grande ressemblance avec la récurrence pour les R_i(g). Une extension de la construction donne également une interprétation des r_i(g) comme comptant certaines cartes avec marquages multiples. Cette interprétation permet ensuite d'établir une equi-énumération (dont une preuve bijective reste à trouver) entre les cartes avec poids N par face (permettant un contrôle sur le genre) et certaines cartes avec marquages multiples.
Plateaux repas
We consider random planar triangulations of the disk coupled with an Ising model at a fixed temperature, emphasizing their local limits as the perimeter of the disk tends to infinity. In this model, the critical behavior of the partition functions is shown to escape the pure gravity university class at the critical point, and a phase transition is identified rigorously. The local limits are explicitly constructed using peeling processes. In particular, we study how the interface geometry changes in this phase transition as well as find some scaling limits for the length of the infinite interface at the critical temperature which have interpretations in the Liouville Quantum Gravity. Based on joint research with Linxiao Chen.
Le plan brownien est la limite d'échelle de la quadrangulation infinie uniforme du plan, il peut aussi être interprété comme une sphère brownienne de volume infini. Le but de cet exposé est de présenter un travail récent en collaboration avec Jean-François Le Gall où l'on établit que le plan brownien vérifie une certaine propriété de Markov spatiale. Cette étude permet aussi d'obtenir de nouvelles constructions du disque brownien de volume infini ainsi que du demi-plan brownien. Ces nouvelles constructions sont complémentaires à celles données par Baur, Miermont et Ray et permettent d'avoir accès aux distances au bord.
