Slice decomposition of hypermaps

• Marie Albenque (IRIF, CNRS)

Room: 1B010 Many bijections between maps and decorated trees have been developed in the last 20 years. In 2010, Jérémie Bouttier and Emmanuel Guitter introduced a new bijective paradigm for maps, called the « slice decomposition », which consists in cutting maps along some geodesic paths to produce some sort of canonical building blocks. This decomposition enables to obtain recursive decompositions, similar to the ones already available for decorated trees, but it also leads to new constructions and decompositions. In my talk, I will present the extension of the slice decomposition to hypermaps (i.e maps in which faces can be properly coloured in two colours). A key feature of hypermaps is that the geodesics along which we cut are directed, following the canonical orientation of edges imposed by the coloring. This orientation requires us to introduce an adapted notion of slices. Using these slices as fundamental building blocks, we obtain new bijective decompositions of several families of hypermaps, thus giving proofs for enumerative formulas obtained in the physics literature. This is a joint work with Jérémie Bouttier.

Constructing the Brownian sphere from a random unicycle

• Mathieu Mourichoux (ENS Lyon)

Room: 1B010 The Brownian sphere is a random metric space that appears as the scaling limit of several models of random planar maps. The construction of this space is based on random trees, and was inspired from a discrete bijection between labelled-trees and maps. In this talk, I will present a new construction of the Brownian sphere, which is the continuous analog of a different discrete bijection between labelled unicycle and maps. I will also show how this new construction can be used to study new geometric properties of the Brownian sphere, which are related to Voronoï cells.

Grands expanseurs dans les cartes de grand genre

• Baptiste Louf (IMB, CNRS)

Room: 1B010 On s’intéresse à la géométrie des triangulations aléatoires de grand genre, et on montre qu’elle ont de bonnes propriétés d’expansion, au sens où elle contiennent de très grands sous graphes expanseurs (à défaut d’être des expanseurs parfaits). Cela vient compléter le tableau des propriétés « à saveur hyperbolique » des cartes de grands genre. Pour montrer notre résultat, on s’appuie sur des résultats antérieurs obtenus avec Budzinski et Chapuy, ainsi que de nouveaux résultats structurels pour le présence de sous-graphes expanseurs dans les graphes et les cartes en général. C’est un travail (en cours de rédaction) avec Tanguy Lions, qui répond à une question d’Itai Benjamini.

Nombre de croisements

• Alfredo Hubard (LIGM)

Room: 1B010 Un dessin d’un graphe est une représentation du graphe dans le plan (ou sur une autre surface) dans laquelle chaque sommet est représenté par un point et chaque arête par un arc de Jordan dont les extrémités correspondent aux sommets incidents. Un croisement est une intersection transversale entre deux arcs représentant des arêtes. Le nombre de croisements d’un graphe est le nombre minimal de croisements parmi tous ses dessins dans le plan. Par exemple, un graphe est planaire s’il a un nombre de croisements égal à zéro. Le nombre de croisements est une mesure de la non-planarité d’un graphe qui a trouvé plusieurs applications en convexité combinatoire, en géométrie des incidences, ainsi qu’en conception VLSI. Le lemme des croisements, démontré il y a 45 ans, fournit une borne inférieure optimale pour l’ordre de grandeur du nombre de croisements d’un graphe en fonction du nombre de sommets et du nombre d’arêtes. Après avoir motivé et expliqué ce résultat classique, je parlerai de plusieurs généralisations dans lesquelles la surface n’est pas nécessairement la sphère, le graphe n’est pas un complexe simplicial et les arcs ne sont pas nécessairement de Jordan, ainsi que d’une version de dimension supérieure pour les complexes simpliciaux.