Name: Journée cartes à l'IRIF
Start: 2023-06-28T09:45:00+02:00
End: 2023-06-28T16:30:00+02:00
Location: IRIF

09:45 → 10:15

Accueil -- café (attention nous serons dans le bâtiment Olympe de Gouges lire ci-dessus) 30m

10:15 → 11:15

Mireille Bousquet-Mélou -- Intervalles de Tamari gloutons 1h

En 2006, F. Chapoton a établi que le nombre d'intervalles dans un certain poset défini sur les chemins de Dyck de longueur 2n, appelé treillis de Tamari, était aussi le nombre de triangulations de taille n. Ce phénomène a ensuite été expliqué bijectivement par Bernardi et Bonichon. Plus tard, le dénombrement de ces intervalles a été généralisé à une famille de treillis dits de m-Tamari (ici, m désigne un entier), par É. Fusy et L.-F. Préville-Ratelle et l'oratrice. Pour un m général, les nombres restent très simples, mais ne sont pas identifiables comme comptant des cartes.
Nous montrerons en revanche, que si on considère un ordre de m-Tamari ``glouton'', alors le nombre d'intervalles est bien le nombre de certaines cartes, connues sous le nom de (m+1)-constellations. Notre preuve est récursive, et procède par équations fonctionnelles. Une preuve bijective reste à construire.

Il s'agit d'un travail en commun avec Frédéric Chapoton (Strasbourg).

11:30 → 12:30

Houcine Ben Dali -- Polynômes de Jack et cartes non orientables à niveaux 1h

La théorie de représentation du groupe symétrique permet d'établir plusieurs connexions entre les séries génératrices de cartes biparties orientables et les fonctions de Schur. Les conjectures de Goulden et Jackson suggèrent que les polynômes de Jack, une déformation à un paramètre des fonctions de Schur, sont liés aux séries génératrices de cartes biparties non orientables comptées avec un poids de "non orientabilité". Dans cet exposé, je présente une interprétation combinatoire pour les caractères de Jack en termes de cartes non orientables à niveaux. Ce résultat généralise une formule pour les caractères du groupe symétrique conjecturée par Stanley et démontré par Féray en 2010.
Cet exposé repose sur un travail effectué en collaboration avec Maciej Dołęga.

12:30 → 14:15

Repas (inscription obligatoire!) 1h 45m

14:15 → 15:15

Matteo d'Achille -- Mosaïques de Poisson-Voronoï idéales sur les espaces hyperboliques 1h

Depuis l'astronomie de Descartes, les mosaïques de Voronoï ont servi à plusieurs fins, notamment à découvrir la cause d'une épidémie de choléra ou à modéliser le motif caractéristique du pelage d'une girafe.

En termes modernes, une mosaïque de Voronoï est une partition d'un espace métrique en cellules disjointes contenant des noyaux, où chaque cellule est l'ensemble des points les plus proches de son noyau. Si les noyaux sont un processus ponctuel de Poisson homogène, on obtient une mosaïque de Poisson-Voronoï, qui est l'un des protagonistes de la géométrie aléatoire depuis son introduction pour modéliser la croissance des cristaux il y a 70 ans.

Récemment, plusieurs auteurs ont étudié ou utilisé implicitement ces mosaïques aléatoires en relation avec d'autres sujets importants en fonction de l'intensité du processus ponctuel. Mais que se passe-t-il lorsque cette intensité tend vers 0?

Dans l'espace euclidien, cela correspond à zoomer autour de l'origine : les noyaux et la mosaïque disparaissent, pas trop intéressant. Cependant, si l'espace métrique sous-jacent a des caractéristiques hyperboliques, contrairement à l'espace euclidien, une mosaïque non triviale limite sans noyaux peut apparaître.

Dans cet exposé, je fournirai d'abord la recette de base pour construire ces mosaïques aléatoires limites, appelées mosaïques de Poisson-Voronoï idéales. Je me concentrerai ensuite sur l'espace hyperbolique de dimension d, où une construction poissonnienne étonnamment simple permet une compréhension quantitative très détaillée de la mosaïque. Nos résultats seront illustrés par de nombreuses figures, animations et une réalisation imprimée en 3D d'une cellule typique de la mosaïque idéale de Poisson-Voronoï de l'espace hyperbolique tridimensionnel.

Basé sur des travaux communs avec Nicolas Curien, Nathanaël Enriquez, Russell Lyons et Meltem Ünel (arXiv 2303.16831).

15:15 → 15:30

pause café 15m

15:30 → 16:30

Delphin Sénizergues -- La taille du plus grand sous-arbre commun entre deux arbres binaires à feuilles étiquetées 1h

On considère des arbres binaires à n feuilles, numérotées de 1 à n.
Pour t_n et t_n' deux tels arbres, on s'intéresse à la taille du plus grand sous-ensemble S de {1,2,...,n} tel que le sous-arbre engendré par les feuilles étiquetées par S dans t_n soit le même que dans t_n'.
Je présenterai des résultats qui traitent de cette quantité dans différents contextes quand n tend vers l'infini.
En particulier, dans le cas où les arbres t_n et t_n' sont tirés uniformément au hasard et de façon indépendante, nous avons montré avec Thomas Budzinski que la taille du sous-arbre commun maximal est typiquement O(n^{1/2-\epsilon}), pour un certain \epsilon>0, ce qui améliore la meilleure borne connue en O(n^{1/2}), obtenue par un argument de premier moment.