Jean-François Le Gall — Géodésiques dans la sphère brownienne. La sphère brownienne, aussi appelée la carte brownienne, est la limite d'échelle universelle des grandes cartes planaires aléatoires choisies uniformément dans une classe convenable, par exemple la classe des triangulations de la sphère avec un nombre de faces fixé. L'objectif de cet exposé est de discuter les propriétés des géodésiques dans la sphère brownienne. Nous rappellerons d'abord les résultats connus sur les géodésiques arrivant en un point typique, et en particulier leur propriété de coalescence. Ensuite nous décrirons des résultats récents concernant les points exceptionnels appelés étoiles géodésiques, qui sont les points terminaux de plusieurs géodésiques disjointes.

Erkan Narmanli — Modèles de cartes décorées et chemins dans le quart de plan On montre que les posets plan, les structures transverses, ainsi que deux familles de surfaces orthogonales en lien avec des cartes décorées, peuvent être mises en bijection avec des marches pondérées dans la quart de plan à l'aide de la correspondance de Kenyon, Miller, Sheffield et Wilson sur les orientation bipolaires. En nous servant des résultats de Bostan, Raschel et Salvy sur le comptage asymptotique de marches aléatoire dans un cône, ou à l'aide de méthodes ad-hoc, on trouve des résultats asymptotique pour ces quatre modèles de cartes. On montre également une bijection entre les posets plan à n+2 sommets et les permutations de taille n qui évitent le motif barré : 2[14]3.

Alice Contat — Parking on Cayley trees, Frozen Erdös-Rényi… and planar maps? Consider a uniform Cayley tree T_n with n vertices and let m cars arrive sequentially, independently, and uniformly on its vertices. Each car tries to park on its arrival node, and if the spot is already occupied, it drives towards the root of the tree and park as soon as possible. Using combinatorial enumeration, Lackner & Panholzer established a phase transition for this process when m is approximately n/2 . We couple this model with a variation of the classical Erdös–Rényi random graph process. This enables us to completely describe the phase transition for the size of the components of parked cars using a modification of the standard multiplicative coalescent which we named the frozen multiplicative coalescent. If time permits, I will also describe a new method to enumerate maps that is inspired from Lackner—Panholzer decomposition of fully parked trees. The talk is partially based on joint work with Nicolas Curien.

Baptiste Louf — Cartes à une face et surfaces hyperboliques en grand genre Dans les dernières années, l’étude des propriétés géométriques des cartes aléatoires s’est étendue à un nouveau régime, le « grand genre », où l’on s’intéresse à des cartes dont la taille et le genre tendent vers l’infini en même temps, au même rythme. Nous considérons ici un cas un peu différent, où le genre tend aussi vers l’infini, mais moins rapidement que la taille, et nous étudions la loi des cycles simples (avec un rescaling bien choisi de la distance de graphe) dans les cartes à une face, grâce à une très belle bijection de Chapuy, Féray et Fusy. L’intérêt de ce travail est que nous obtenons exactement la même loi que Mirzakhani et Petri qui ont compté les géodésiques closes sur un modèle de surfaces hyperboliques aléatoires en grand genre (la mesure de Weil—Petersson). Cela nous amène à conjecturer que ces deux modèles sont en quelque sorte « les mêmes » à la limite. Travail en commun avec Svante Janson.